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第20讲 在抛硬币或天体观测时观察到的正态分布（第2页）

?σ表示分布的标准偏差。即表示图表左右扩大多少，其含义是分布的“扩大”“分布”。

?标准正态分布是指μ＝0、σ＝1的情况。平均值μ、标准偏差σ的正态分布的分布图，是在不改变标准正态分布的分布图面积的情况下，左右延长σ倍，y方向延长1σ倍，并且只在x方向上平行移动μ。

20-4将一般正态分布概率转换为标准正态分布形式

若已知标准正态分布的概率，就能很容易地计算出一般正态分布的概率。

下面我们来进行实际操作：例如，在μ＝3、σ＝2的正态分布中，计算在1≤x≤5的范围中观察到x的概率。

正如刚才的解说，标准正态分布（μ＝0、σ＝1的正态分布）的图像，是左右扩大2倍，同时横向平行移动＋3后得到的。因此，如果把它调转过来，即横向平行移动-3，同时左右缩小12，就能恢复到标准正态分布的状态。

也就是说，把变量x变形为z＝（x-3）2，变量z就会成为遵循标准正态分布的变量。于是可以得到：

1≤x≤5

→1-3≤x-3≤5-3

→-2≤x-3≤2

→-22≤（x-3）2≤22

从这个变形中，又可以得到：

用概率的符号进行表示，则为：

因此，在μ＝3、σ＝2的正态分布中，计算在1≤x≤5的范围中观察到x的概率，与在标准正态分布中观察满足-1≤z≤1的z的概率是相同的。换言之，这个概率，与20-2中所出的结果是一样的，即约为0。6826。

p（1≤x≤5）≈0。6826

20-5正态分布的多个观测值的平均值为正态分布

正态分布具有以下神奇的性质：

正态分布观测结果的平均值具有何种性质

根据平均值μ、标准偏差σ的正态分布观测到n个数值，取平均值记为x，即

对于“即使将正态分布进行平均化，结果也依然是正态分布”这样神奇的性质，大家一定会感到惊讶吧。这就是20-1中提到的“便利的数学操作性”。此外，其神奇之处在于，平均值与之前相同，而标准偏差是除以观察次数的平方根而得出的数值。下面，我们通过以下练习实际感受一下。

问题

把日本的成年女性的身高作为正态分布，其平均值为160cm，标准偏差约为5cm。现在，随机从日本的成年女性中抽取25人，多次计算她们身高的平均值。此时的结果，x遵循怎样的概率分布呢？

答案

平均值≈160cm

第20讲·小结

1．正态分布这种概率分布，在自然和社会中经常能观察到。

2．只要确定了平均值μ和标准偏差σ，就能确定一个正态分布。

3．平均值μ表示图像的顶点位置，标准偏差σ表示图像的扩大程度。

4．标准正态分布是所有正态分布的基础，即μ＝0、σ＝1。

练习题

答案参见此处

（1）假设z为根据标准正态分布而被观测到的数值。此时，z在-1≤z≤1的范围中的概率p（-1≤z≤1）为0。6826，计算当z在0≤z≤1的范围内时，

p（0≤z≤1）＝p（-1≤z≤1）÷（）＝（）

（2）假设x为根据μ＝5、σ＝3的正态分布而被观测到的数值。此时，计算x在5≤x≤8的范围内时，概率p（5≤x≤8），则：

根据上述结果，并使用（1）中的答案，可以求出（）